دیدگاه های جریان: لاگرانژی و اولری

مفاهیم سیالات از آن دسته از علوم هستند که هیچ گاه تلاشی برای آموزش آن، به شکلی ساده و روان، صورت نگرفته است. شاید من در این زمینه بد شانس و یا ناتوان بوده ام ولی همیشه درک مفاهیم سیالات و مفاهیم مربوط به ذره سیال برایم کاری مشکل بوده است. در این مقاله دانسته های خودم را به چالش کشیدم و سعی کردم از زیر بنا دو دیدگاه جریان یعنی دیدگاه لاگرانژی و اولری را به بحث بکشم و همراه با شما به یادگیری دوباره اون بپردازم. به طور کلی در جریان های غیر دائمی و سه بعدی ( یا کمتر از آن) اصولا مسیر حرکت سیال توسط سه متغیر مستقل مکانی X ،Y و Z (در سیستم کارتزین) و یک متغیر مستقل زمانی t بیان می شود. بنابراین توسط این چهار متغیر از دو دیدگاه لاگرانژ و اولر می توان جریان را نمایش داد. بر این اساس مسائل هیدرودینامیکی را می توان با روش های اولری، لاگرانژی و یا ترکیبی از این دو تحلیل نمود. انتخاب هر کدام از سه شیوه برای تحلیل مسئله بستگی به ماهیت مسئله و ویژگی آن دارد. در ابتدا دوست دارم با تماشای کلیپ زیر، ذهنیتی درباره این دو دیدگاه و وجه تمایزشان پیدا کنید.

دیدگاه لاگرانژی

در روش لاگرانژی (Lagrangian Frame) اگر از یک دستگاه مختصات استفاده شود، موقعیت هر ذره سیال در این دستگاه که بر حسب زمان تغییر مکان می دهد ( با توجه به کلیپ بالا، مثال سگ را در نظر بگیرید) بر حسب دو پارامتر زمانی t و پارامتر برداری r0 به عنوان نقطه ای که قبلا ذره در زمان t0 از آن گذشته است، تحت عنوان مختصات اولیه نامیده می شود. بنابراین مختصات مکانی ذره سیال بعد از طی دلتایt، برابر r خواهد شد که به آن موقعیت ذره می گویند.

یکی از مزایای روش لاگرانژ آن است که حرکت و مسیر ذره سیال تا قبل از زمان t مشخص است و بنابراین در هر لحظه تاریخچه قبلی ذره معلوم است و مسیر، چگالی، سرعت و دیگر مختصات هر ذره سیال با گذشت زمان معلوم می شود. این نظریه در تحلیل دینامیکی ذرات جامد استفاده می شود. اگر موقعیت یک ذره سیال به صورت تابعی از زمان در نظر گرفته شود نتیجه آن مسیر ذره است که یک خط مسیر نامیده می شود. یکی از مشکلات اساسی کاربردی این روش آن است که علی رغم شکل ساده معادلات، تحلیل آن ها کاری بسیار پیچیده و مشکل است. همچنین در این روش دائمی بودن جریان یعنی عدم تغییرات پارامترهای جریان نسبت به زمان واقع در یک نقطه، مسئله را ساده تر نمی سازد، چرا که ذره در مسیر خود ممکن است دچار تغییرات گردد. در حقیقت این روش در جریان های یک بعدی بیشتر کاربرد دارد. از نظر ریاضی، موقعیت جدید هر ذره در یک دستگاه متعامد که بر حسب زمان تغییر مکان می دهد شامل دو پارامتر زمانی و پارامتر برداری مکانی بیان می گردد. بردار r(t0) نقطه ای است که قبلا در زمان t0 وجود داشته است و تحت عنوان مختصات اولیه یا مختصات مادی نامیده می شود.

دیدگاه اولری

در نظریه اولری (Eulerian Frame) فقط عامل موقعیت ذره (r) و زمان (t) به عنوان توابع مستقل جهت تعیین مشخصات ذره سیال مانند سرعت مورد توجه است، در حالی که در روش لاگرانژ مشخصات ذره (سرعت و شتاب) از طریق دنبال کردن مکانی ذره (مثال سگ را دوباره درنظر بگیرید) مسیر است. در روش اولر در هر نقطه موردنظر در میدان جریان می توان مشخصات جریان مانند سرعت، شتاب را بر حسب زمان بدست آورد و به ذرات عبوری و این که از کجا آمده اند و به کجا می روند توجهی ندارد (همان قضیه قاب در نظر گرفته شده در کلیپ بالا را در ذهن بیاورید). بنابراین سرعت یا هر خصوصیت دیگر در این روش تابعی است از موقعیت نقطه و زمان و هویت هر ذره سیال از نظر مکان اولیه آن لازم نمی باشد. پس فراموش نکنید که رو روش اولر توجه به نقاط مخصوص در فضا منعطف می گردد و ویژگی های حرکت سیال (مانند سرعت، چگالی و دیگر متغیرهای سیال) در هر نقطه از فضا به صورت یک تابع از زمان مورد توجه قرار می گیرد در حالی که به هیچ وجه حرکت ذرات سیال به صورت یک ذره تکی مورد بررسی قرار نمی گیرد.

نظریه اولر برای اکثر مسائل مهندسی قابل کاربرد است به علاوه از این نظریه در تحلیل سیالات استفاده ساده تری می تواند صورت گیرد. در نظریه اولر تحلیل بر روی جریان های پایدار آسان می باشد به طوری که در جریان ناپایدار متغیرهای (خصوصیات) سیال با زمان در نقاط فضایی جریان تغییر خواهد کرد در حالی که در جریان پایدار هیچ یک از متغیرهای واقع در نقاط نسبت به زمان تغییر نمی نماید. تغییرات خصوصیات جریان تابعی از موقعیت فضایی سیال می باشد بنابراین در نظریه اولر یک جریان پایدار حتی می تواند شتاب نیز داشته باشد.

مقایسه دو دیدگاه

به عنوان جمع بندی نهایی جهت مقایسه دو دیدگاه فوق: می توان گفت، در روش لاگرانژی مشخصات ذره سیال در طی ردیابی مورد توجه است و هر ذره معادلات خاص خود را خواهد داشت و بنابراین معادلات برای هز ذره به طور جداگانه تنظیم و نوشته می شوند درحالی که در روش اولری از هر نقطه ممکن است بیش از یک ذره عبور نماید و کاری به قبل و بعد نقطه نخواهیم داشت چرا که تنها خصوصیات سیال در هر نقطه موردنظر مورد توجه است بنابراین معادلات فقط برای هر نقطه تنظیم یا نوشته می شوند. برای حل از طریق انتگرال گیری معادلات اولری به سه ثابت انتگرال گیری نیاز می باشد که می توان آن ها را از مختصات هر نقطه مشخص در میدان جریان بدست آورد از جمله مختصات اولیه یک ذره از سیال یعنی (X0, Y0 , Z0) بدست آورد که در این صورت از حل معادلات مربوط به اولز می توان معادلات لاگرانژی را نتیجه گرفت. از این جهت می توان معادلات لاگرانژی را از معادلات اولری بدست آورد اما باید در نظر داشت که حل معادلات اولر در برخی از موارد به خاطر پیچیدگی همیشه امکان پذیر نیست مانند معادلات ناویر – استوکس. از جمله روش هایی که از دیدگاه اولری استفاده می نمایند شبیه سازی از طریق حل عددی به روش های المان محدود، حجم محدود و اختلافات محدود می باشد که در آن ها کمیت های جریان باید بر روی گره ها تعیین شوند.